كيف إيجاد مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى ن

كيفية إيجاد مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى ن

هناك عدة طرق لإيجاد مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية من 1 إلى أي عدد ن، ولكن الطريقة الأكثر شهرة وسهولة هي طريقة غاوس.

طريقة غاوس

تعتمد هذه الطريقة على فكرة بسيطة وهي جمع الأعداد المتقابلة في السلسلة. تخيل أنك تريد جمع الأعداد من 1 إلى 10. يمكنك كتابة السلسلة مرتين، مرة بشكل تصاعدي ومرة أخرى بشكل تنازلي، ثم جمع الأزواج المتقابلة:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
------------------------------------
11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11

كما ترى، فإن مجموع كل زوج من الأعداد المتقابلة يساوي (ن+1) في هذه الحالة (10+1 = 11). وبما أن لدينا ن زوجًا، فإن المجموع الكلي سيكون:

ن × (ن+1) / 2

إذن، القاعدة العامة لإيجاد مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى ن هي:

مجموع = ن × (ن+1) / 2

مثال:

لإيجاد مجموع الأعداد من 1 إلى 100:

ن = 100 مجموع = 100 × (100+1) / 2 = 5050

لماذا تعمل هذه الطريقة؟

تعتمد هذه الطريقة على خاصية التوزيع في الضرب، حيث يمكننا توزيع عملية الضرب على عملية الجمع. كما أنها تستفيد من التناظر في السلسلة العددية.

أمثلة أخرى:

• مجموع الأعداد من 1 إلى 5: (5 × 6) / 2 = 15
• مجموع الأعداد من 1 إلى 20: (20 × 21) / 2 = 210

استخدامات هذه القاعدة:

تستخدم هذه القاعدة في العديد من التطبيقات الرياضية، مثل:

• حساب المتسلسلات الحسابية: حيث يكون الفرق بين كل عددين متتاليين ثابتًا.
• حل مسائل الكلمات: حيث يطلب منك إيجاد مجموع سلسلة من الأعداد المتتالية.
• برمجة الحاسوب: حيث يمكن استخدام هذه الصيغة لكتابة برامج لحساب مجموعات الأعداد.

ملاحظة: هذه الطريقة سريعة وفعالة لإيجاد مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية، وتعتبر أداة أساسية في العديد من مجالات الرياضيات.